Вести

13.05.2020.

Површина троугла

Klett, Математика 6 дигитални уџбеник

Klett, Математика 6, дигитална збирка

Појам површине ученици су усвојили у млађим разредима, када су се сусрели са формулама за израчунавање површине правоугаоника и квадрата. Међутим, знање које о површини стичу у шестом разреду не само да је надградња претходног знања већ и важан предуслов за каснију обраду површина многоуглова, као и за усвајање садржаја стереометрије. У једном од претходних чланака било је речи о мерењу површине, при чему смо истакли колико је важно да се ученици шестог разреда подсете одговарајућих мерних јединица. Показали смо и израчунавање површине неких једноставнијих фигура нацртаних у квадратној мрежи.

Пре него што ученике упознамо са формулама за израчунавања површине троуглова и четвороуглова, подсећамо се израчунавања површине правоугаоника и квадрата. Идеја допуњавања и разлагања фигура утире нам пут ка израчунавању површина различитих фигура датих у квадратној мрежи, односно у координатном систему, па пратећи ту логику, изводимо и формуле за израчунавање површине паралелограма, троугла, трапеза и четвороуглова са међусобно нормалним дијагоналама.

Током редовне наставе, наставној јединици Површина троугла посветили бисмо три школска часа. У околностима онлајн наставе, часови утврђивања заснивају се на правилном вођењу ученика кроз процес самосталног рада, односно на одговарајућем одабиру материјала за самостални рад. Сви смо већ увидели да нам настава на даљину, ма колико изазовна била, нуди различите могућности и да позитивно утиче на креативност наставника и ученика, па се разни пројекти и реквизити које у свести нисмо могли да изместимо из простора учионице селе у виртуелни свет и у домове ученика.

Овог пута предлажемо да се ученицима скрене пажња на нову наставну јединицу тако што ћемо их упутити да на картону нацртају два подударна троугла и да их потом изрежу. Док они припремају материјал, подсећамо се, у кратким тезама, да се површина фигуре не мења преслагањем њених делова, под условом да се ти делови не преклапају. Осврћемо се на још нека запажања са претходних часова, па истичемо да подударне геометријске фигуре имају једнаке површине, при чему под подударним фигурама подразумевамо оне које се могу довести у положај да једна другу потпуно поклопе. Такође, обнављамо да је збир површина две геометријске фигуре које се спајају по неким деловима својих граничних линија једнак површини фигуре добијене њиховом унијом.

Када смо обнављањем кључних теза поставили основу за обраду нове наставне јединице, упућујемо ученике да испред себе ставе моделе подударних троуглова које су направили и да покушају да одреде њихову површину. Пре него што почну са радом, проверавамо да ли су троуглови које су ученици направили заиста подударни како бисмо избегли погрешне закључке. То можемо учинити путем фотографија или видео-записа, или одговарајућим упућивањем ученика да подударност троуглова самостално провере. Овом приликом подсећамо ученике на одређивање површине правоуглог троугла на квадратној мрежи и осврћемо се на идеју допуњавања фигуре до неке друге фигуре како би се одредила површина тражене фигуре. Наводимо ученике на закључак да дате троуглове треба спојити и да је неопходно да их споје у паралелограм, а затим се подсећамо особина паралелограма које смо претходно доказивали. Очекујемо да неко од ученика закључи да се паралелограм састоји из два подударна троугла, да су површине подударних фигура једнаке, те да је површина троугла два пута мања од површине одговарајућег паралелограма. Ученици треба да уоче и да на три начина, спајањем два подударна троугла, добијају паралелограме, из чега изводимо формулу за израчунавање површине троугла, коју ученици треба да запишу у своје свеске.

Сада је време да ученике упутимо на одговарајуће задатке у уџбенику како бисмо и практично показали оно о чему је било речи. И овог пута говорићемо о материјалу који се нуди у уџбеничком комплету Издавачке куће „Klett”, који се састоји из штампаних издања уџбеника и збирке задатака и дигиталног издања уџбеника, а као посебна погодност нуди се и дигитална збирка са додатним задацима за вежбање.

Ученици, уз адекватно упућивање, самостално одређују површине паралелограма у 1. задатку у лекцији Површина троугла из уџбеника, уз напомену да, иако неподударни, троуглови имају исту површину. Осврћемо се и на 1. пример у уџбенику и упућујемо ученике да реше 2. и 3. задатак како би конкретизовали правила за израчунавање површине троугла.

Дигитални уџбеник нам је драгоцено средство у оним ситуацијама када нам недостаје цртање на табли, помоћу којег ученици треба да стекну слику о ономе о чему говоримо. Сада помоћу анимације израђене у софтверу Геогебра ученици могу видети како се допуњује троугао до паралелограма, односно да дијагонала паралелограма дели паралелограм на два подударна троугла. У материјалу је исписана и формула за израчунавање површине паралелограма. Упућујемо их и на задатак у дигиталном уџбенику, који је погодно решити после 1. примера датог у штампаном издању. У равни су дати троугао и лењир, при чему ученик лењир може транслирати и ротирати како би измерио дужине странице и висине и потом израчунао површину троугла. Ученик свој резултат може проверити кликом на одговарајуће поље.

Градиво се утврђује решавањем задатка 6 и задатка 7 из уџбеника, као и решавањем задатака 93, 94 и 96 из збирке.

Следећи корак који бисмо у редовним околностима планирали за други час бављења овом наставном јединицом јесте решавање 4. задатка из уџбеника, у коме је постављен захтев да се одреди висина троугла из темена Б ако су познате дужине страница БЦ и АЦ и висина из темена А. Очекујемо да ученици реше задатак ослањајући се на аналогију са задацима које су решавали у вези са паралелограмом. Потом их упућујемо на задатак 104 из збирке, при чему можемо успоставити корелацију са обрнутом пропорционалношћу. Да је однос површина троуглова једнаких висина једнак односу одговарајућих страница троуглова, ученици ће сазнати након решавања 6. задатка, па истичемо да су странице и површина троуглова једнаких висина директно пропорционалне, а да је у том случају висина троугла константа пропорционалности.

Обнављамо и специјалне класе паралелограма, посебно истичући правоугаоник, па питамо ученике на које две фигуре дијагонала правоугаоника дели дати правоугаоник. Показујемо у каквом су односу површине правоугаоника и троугла чији су елементи две суседне странице правоугаоника и једна дијагонала правоугаоника. Упућујемо ученике да у свеске запишу формулу за израчунавање површине правоуглог троугла, а затим и да реше 9. и 10. задатак из уџбеника и решења провере у дигиталном уџбенику. Са овим у вези је и аплет у дигиталном уџбенику, у којем је представљен правоугли троугао, исписане су дужине катета и површина троугла. Теме наспрам катете је фиксирано, док ученик може померати друга два темена и уверити се да је површина правоуглог троугла једнака полупроизводу катета правоуглог троугла.

Пре него што покажемо на који начин се површина троугла примењује за одређивање површине многоуглова, решићемо 8. задатак из уџбеника, у оквиру ког обнављамо конструкције троуглова, па рачунамо површину тупоуглог троугла када подножје висине не припада наспрамној страници троугла. Притом користимо особину да је катета наспрам угла од 30° једнака половини хипотенузе да бисмо одредили висину троугла. Утврђујемо представљање тачака, тачније скупова тачака у координатном систему, па одређујемо површине троуглова таквих да је једна страница троугла паралелна једној од оса (5. задатак). Прелазимо на обраду 2. примера, односно на израчунавање површине троугла представљеног у координатном систему, при чему ниједна страница троугла није паралелна ниједној од оса правоуглог координатног система.

На крају уводимо површину многоугла тако што упућујемо ученике да је један од начина да се израчуна површина неког многоугла разлагање на троуглове. Специјално, на примеру четвороугла (3. пример) илуструјемо дату идеју, а ученици решавају задатак 13 из уџбеника. Одмах их упућујемо и на дигитални уџбеник, где је у једном од аплета представљен многоугао (петоугао) и изложен је начин поделе многоугла на троуглове дијагоналама из једног темена, као и подела на већи број троуглова избором неке тачке у унутрашњости многоугла. Други начин нам утире пут одређивању површине правилних многоуглова, који се на овај начин деле на подударне (карактеристичне) троуглове.

На крају ученике упућујемо на задатке у збирци, као и на додатни дигитални садржај намењен самосталном раду.