Вести

06.05.2020.

Аритметичка средина и размера

Увођење скупа позитивних рационалних бројева – скупа разломака и основних операција са разломцима – представља најобимнију тему у настави математике у петом разреду. Елементе овог скупа представљамо на два начина: као разломак и као децималан број. Велики број поступака којима треба овладати чини ову тему веома важном, али истовремено и веома захтевном. Поступци рачунања са децималним бројевима слични су поступцима рачунања које ученици већ познају. С друге стране, поступци рачунања са разломцима задају ученицима много више потешкоћа и представљају значајну новину, па је важно ове поступке изводити и повезивати са оним што је већ познато.

У млађим разредима основне школе ученици су упознали рачун са природним бројевима. Савладали су поступке израчунавања збира, разлике, производа и количника, као и основне особине ове четири рачунске операције. Такође, умеју да решавају (у скупу природних бројева) и основне једначине и неједначине, а упознали су се и са појмом разломка, пре свега са тим на који начин се део неке целине описује разломком.

Решавање једначина и неједначина са позитивним рационалним бројевима не представља потпуну новину, будући да се научени поступци углавном примењују и у овом, ширем контексту. Обрађују се аритметичка средина, размера и проценти и њихова примена за решавање разноликих проблема. Уједно, ово је прилика и да се обраде садржаји везани за табеларно и графичко представљање података.

Наставници овој наставној теми посвећују посебну пажњу, имајући у виду да успешан наставак школовања у великој мери зависи од степена овладавања рачуном са разломцима. Шести разред је (можда последња права) прилика да се савладају поступци рачунања са рационалним бројевима. Поред тога што је у огромном броју задатака који следе неопходно нешто израчунати, вешта манипулација разломцима представља и услов за рачун пропорција, трансформацију израза итд.

Дигитални материјал који је припремила Издавачка кућа „Klett” драгоцена је помоћ наставнику у новонасталим околоностима. Пре свега, ученике можемо упутити на интерактивне задатке путем којих утврђују стечено знање, како бисмо потом постепено уводили нове појмове. За увежбавање градива о разломцима предлажемо дигиталну збирку која садржи додатне задатке за вежбање и која је посебно намењена самосталном раду код куће. У одељку под називом Разломци налазе се интерактивни задаци са великим бројем одговарајућих примера који се приликом сваког приступа задатку појављују различитим редоследом. Ученици ће се сусрести са графичким приказом разломка као дела целине, а потом и са поступцима проширивања и скраћивања разломака и превођења у децимални запис. Задаци садрже различите опције, па се исти пример може решавати на основном нивоу, корак по корак, или на напредном нивоу. Наставу математике тако можемо повезати са играњем видео-игрице, где се од ученика очекује да пређу одређене нивое.

Када ученици утврде поменуто градиво и када решимо евентуалне недоумице које су се појавиле током решавања задатака, уводимо и појмове аритметичке средине и размере. Ученици су се већ сусрели са појмом аритметичке средине бројева: просек оцена (одређен број ученика уме и да га израчуна), просечна висина, просечна тежина, просечно време при извршавању неких операција и тако даље, те њихово предзнање обнављамо решавањем мотивационог задатка. Предлажемо да наставник за ову тему у околностима онлајн наставе користи штампано и дигитално издање уџбеника Математика за пети разред основне школе Издавачке куће „Klett”. Решавањем 1. задатка из лекције Аритметичка средина у штампаном издању уџбеника показује се поступак израчунавања аритметичке средине два (природна) броја. Искористићемо прилику да још једном подсетимо ученике да разломачку црту тумачимо као знак за дељење. Ученици потом решавају 2. задатак, који још једном показује примену аритметичке средине, овог пута на примеру резултата наших познатих атлетичара. Да се аритметичка средина два броја на бројевној полуправој налази на средишту дужи чији су крајеви те две тачке, ученици се уверавају решавањем 3. задатка. Пре него што упознамо ученике са геометријском интерпретацијом аритметичке средине, очекујемо да издвоје закључке до којих су дошли решавајући 3. задатак.

На бројевној полуправој аритметичкој средини два различита броја одговара средиште дужи чији су крајеви тачке које одговарају тим бројевима. Дакле, између свака два различита разломка налази се нови разломак – њихова аритметичка средина. Ово је веома важна особина и ученици би требало да увиде да су тачке придружене разломцима „густо” распоређене на бројевној полуправој, за разлику од природних бројева. Следећи корак јесте једначина у којој је потребно одредити вредност непознатог броја уколико су нам познате вредности другог броја и аритметичка средина та два броја (2. пример у штампаном издању уџбеника). Ученици дати поступак увежбавају решавањем 4. задатка, након чега дефинишемо аритметичку средину више бројева.

Ово је добар тренутак да ученике упутимо на дигитални уџбеник, како бисмо на примеру аплета израђеног у Геогебри практично показали оно о чему је претходно било речи. Помоћу материјала датог у дигиталном уџбенику може се рачунати аритметичка средина четири броја. Дати бројеви представљени су стубичастим дијаграмом, а илустрована је и вредност аритметичке средине. Ученици не само да уочавају образац по коме се рачуна аритметичка средина више бројева већ се уверавају у то да аритметичка средина не може бити мања од најмањег броја, нити може бити већа од највећег броја. Такође, могу уочити зависност промене аритметичке средине од промене бројева чију аритметичку вредност рачунамо.

Ниво разумевања датих садржаја, тачније поступака, проверавамо тако што ученицима задајемо да израчунају аритметичку средину своје висине и висине друга/другарице из одељења. Проверавамо њихове резултате и упућујемо их на то да резултате и међусобно проверавају. Ради увежбавања поступака и продубљивања знања задајемо ученицима да реше задатке 212–215, као и задатак 217 из штампаног издања збирке задатака, односно интерактивне задатке на слајду 6 у лекцији Множење и дељење разломака и примене у дигиталној збирци са додатним задацима за вежбање.

У редовним околностима наставе, на наредном часу бисмо утврђивали знања о аритметичкој средини. У тренутим околностима, предлажемо наставнику да ученике упути на израду 5, 6. и 9. задатка у штампаном издању уџбеника. Можемо им задати и да одреде аритметичку средину датих вредности, као што су висина или тежина. Упућујемо их и на 4, 5. и 6. пример у уџбенику, као и на решења задатака која се налазе у дигиталном уџбенику. Утврђивање градива допуњујемо одговарајућим дигиталним садржајем. Реч је о аплету који се налази на слајду 2 у лекцији Аритметичка средина у дигиталном уџбенику. Графички је представљена фреквенција појављивања датих бројева, при чему више резултата може имати исту вредност. Од ученика се очекује да прочитају графички приказ и да израчунају аритметичку средину. Ученици поступак и резултат могу проверити, а затим могу прећи на нови проблем.

Следећи корак је увођење појма размере и једнаке размере. Организујемо ученике да кроз рад у паровима, помоћу карте Србије и лењира, користећи однос слике и стварног растојања који представља карта, одреде ваздушно растојање између:

а) Крагујевца и Крушевца;

б) Краљева и Београда;

в) Ниша и Врања;

г) Зајечара и Неготина;

д) Суботице и Новог Сада;

ђ) Сомбора и Лесковца.

Ученици деле задужења, размењују информације, а потом заједно представљају своје резултате и анализирају их заједно са наставником.

Потом прелазимо на поделу геометријских објеката у одговарајућој размери. Поделу дужи на три једнака дела и одређивање размере дужина појединих дужи обрађујемо 3. примером из штампаног издања уџбеника, а кроз 4. пример показујемо ученицима поступак поделе дужи на два дела у одговарајућој размери. Упознајемо ученике са кружним дијаграмом и наводимо их на закључак да у случају овог дијаграма централни углови приказују одређену размеру. Након обраде 5. примера, ученици самостално раде 10. задатак и проверавају решење задатка у дигиталном уџбенику.

Поново се окрећемо дигиталном уџбенику, тачније примеру који се налази на слајду 3 у лекцији Размера. У датом материјалу описан је случај бацања коцкице за игру и изражена је вероватноћа сваког догађаја (да падне јединица, да падне двојка…, да падне шестица). Ученици могу бирати број бацања коцке, могу посматрати учесталост појављивања сваког од бројева на десној страни (колико пута је пао који број). Аутоматски се представља колико је бацања било, уз адекватан графички приказ. Ученици у било ком тренутку могу стати и израчунати аритметичку средину вредности које су пале приликом тих бацања.

Ради увежбавања поступака и продубљивања знања која се тичу размере задајемо ученицима домаћи задатак. Сваки ученик је дужан да 20 пута баци хомогену коцкицу за игру и прибележи колико пута је пала јединица, колико пута двојка, и тако редом. Добијене вредности ученици би требало и графички да представе. Уз то, упућујемо их на одговарајуће задатке у штампаном издању збирке, као и на слајд 7 у дигиталној збирци са додатним задацима за вежбање, где на примеру дужи ученици треба самостално да представе задате размере.

Појединим ученицима дајемо задатак да припреме кратко излагање о теми вероватноће и да остале ученике упуте у овај садржај: одређивање вероватноће реализације неких једноставнијих догађаја који се тичу бацања коцкице, извлачења карте из шпила карата, вероватноће добитка на лоту. Своја излагања могу да сниме, при чему им сугеришемо да снимак не би требало да траје дуже од три минута.